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¿Qué son los fractales? (2003)

¿Por qué a menudo se describe la geometría como algo frío y árido? Sí, es incapaz de describir la forma de una nube, una montaña, una costa o árbol, porque ni las nubes son esféricas ni las montañas cónicas ni un árbol cilíndrico.
"La geometría fractal de la naturaleza",
- Benoit Mandelbrot

Los seres humanos han intentado explicar la naturaleza desde los inicios de su existencia. En la antigüedad, recurríamos a crear mitos para explicar lo que sucedía a nuestro alrededor y poder entender cómo se había creado la naturaleza. Pero ya no es necesario recurrir a las supersticiones porque ahora existe la posibilidad de explicar la naturaleza por medio de la geometría fractal. Si usted es uno de esos estudiantes de escuela superior que odian la geometría y cualquier otra rama de la matemática, quizás cambie su opinión al conocer más acerca de los fractales, los cuales convierten a la geometría en el estudio de una serie de figuras muy interesantes y especiales que han logrado atraer la atención de muchos matemáticos, e incluso estudiantes.

La palabra "fractal" proviene del latín "fractus", que significa "fragmentado". Es posible explicar un fractal como una serie de puntos generados por una fórmula simple y que forman patrones reconocibles con líneas de contorno muy interesantes. Pero hay mucho más allá de esta definición. Para aquellos que quieren una definición más acertada de un fractal encontrarán que es "un cuerpo que tiene su dimensión topológica estrictamente menor que su dimensión de Haussdorf-Besucovic". Para comprender a cabalidad el concepto de fractal es importante tener en mente tres de sus características propias e inherentes, ya que éstas son trascendentales para comprender su estructura y su concepción. Por contradictorio que pueda sonar, a pesar de que el área o superficie de un fractal es finita al tener límites, su perímetro o longitud es infinita. Además, los fractales poseen auto-similitud, es decir que no importa la escala en la cual se vea el fractal, siempre se ve el mismo patrón; una repetitividad infinita. Finalmente, los fractales tienen dimensiones fractales. Nosotros estamos acostumbrados a manejar tres dimensiones (1ra, 2da, 3ra). Pero los fractales tienen dimensiones decimales (por ejemplo 0.5), lo que es un concepto abstracto que resulta muy complejo.

Para comprender los fractales, es necesario comprender primero el concepto de iteración. Una iteración es la repetición de algo una cantidad infinita de veces. Los fractales se generan a través de iteraciones de un patrón geométrico establecido como fijo.

La figura representada anteriormente es conocida como el Copo de Nieve de Koch o la Isla Tríada de Koch. Esta se forma a partir de un triángulo equilátero. En cada repetición, cada lado del triangulo es dividido en tres partes iguales. Esta iteración, en un alto grado de complejidad, se asemejará a una circunferencia, ya que los triángulos se irán colocando infinitamente. Este triángulo reafirma el concepto de área finita y perímetro infinito explicado anteriormente.

Cantor Dust iteration
Polvo de Cantor

Copo de Nieve de Koch

 

Benoit Mandelbrot
Conjunto de Mandelbrot

El primer objeto fractal estudiado en la historia, el polvo de Cantor, fue descrito por el matemático alemán Georg Cantor (inventor de la teoría de los conjuntos) alrededor de 1872. A pesar de ser una figura extremadamente sencilla, recoge casi todos los atributos discutidos sobre los fractales. Este presenta auto-similitud a cualquier escala y posee una dimensión fraccionaria de 0.6309 (log 2/log 3) aproximadamente. El polvo de Cantor es producido por procesos de iteración; éste se inicia con un segmento lineal (conocido como el iniciador). Este se divide en tres segmentos menores de la misma longitud y se elimina el segmento central. Este proceso se repite indefinidamente, hasta que se produce el polvo de Cantor.

Ya en la década de 1980, se descubre uno de los fractales más celebres y estudiados en la historia: el Conjunto de Mandelbrot. Este deriva su nombre de su descubridor, el matemático polaco Benoit Mandelbrot, considerado el padre de la Geometría Fractal. Sin embargo, Mendelbrot no fue el único matemático importante en el descubrimiento de esta clase de geometría, ya que otro matemático, el francés Gaston Maurice Julia, también formó parte del descubrimiento de los fractales. Al estudiar las biografías de estos hombres ilustres, nos podemos dar cuenta que ninguno de ellos quiso descubrir los fractales. Por ello, puede decirse que los fractales son una hermosa casualidad. Los conjuntos de puntos que conocemos como fractales se pueden generar de muchas maneras; sin embargo, éstos se producen por lo general matemáticamente por medio de la repetición constante de un cálculo simple. Por ejemplo, el conjunto de Mandelbrot se forma por medio de una formula muy simple. Z = Z2+C. La suma del cuadrado de un número Z y C se convierte en Z, y el proceso se repite infinitamente.

Los fractales como el Conjunto de Mandelbrot, producen imágenes muy peculiares, interesantes y hermosas. Las imágenes de fractales se generaron gracias a los computadores debido a su habilidad de realizar cálculos miles de veces en un corto tiempo. Sin embargo, debido a la complejidad de los cálculos pseudo-infinitos, el hecho que un fractal es infinito y de que una computadora no tiene el poder de realizar un cálculo infinitamente, lo representado no es completamente un fractal, pero nos da una idea aproximada de lo que es. En el caso del Conjunto de Mandelbrot, éste se realiza en un plano bidimensional de números complejos. Todos los números que al ser iterados se mantienen "relativamente pequeños" se dice que pertenecen al Conjunto de Mandelbrot y son representados por la computadora con color negro. Los demás puntos, que no pertenecen al Conjunto de Mandelbrot y no son pequeños, se representan dependiendo de su rapidez de iteración.

Actualmente los fractales tienen ya una serie de aplicaciones útiles al igual que insólitas, como la producción de "música fractal". Sin embargo, los científicos estiman que hay muchas aplicaciones aún no descubiertas. El uso más conocido es en el área de la computación, en donde éstos se utilizan para crear efectos en programación, compresión de archivos y la creación de imágenes asombrosas. Por medio de la transformación fractal, es posible la reducción del espacio "físico" (o tamaño) de una imagen o archivo. Finalmente, gracias a los fractales es posible añadir resolución a una imagen para que ésta se pueda ver mucho mejor.

Los médicos han logrado aplicar los fractales a su campo al lograr identificar la presencia de enfermedades en los huesos. Un programa de computadora logra analizar la textura de los huesos basándose en técnicas fractales que muestran cómo un hueso sano evolucionaría y finalmente se enfermaría.

Quizá la forma más útil de aplicar los fractales en la geografía es la elaboración de mapas tridimensiones muy detallados que permiten una imagen con un 99.9% de precisión en comparación con la forma real de nuestro planeta. Además, Mandelbrot ha propuesto que las galaxias y otros cuerpos semejantes se rigen por el mismo concepto. Finalmente, en los campos matemáticos de la geología y topología, gracias a los fractales es posible el cálculo más cercano o acertado de distancias, lo que permite por ejemplo determinar las verdaderas distancias que separan las costas de los continentes. Cualquier orilla del mar, con sus estribaciones irregulares, puede interpretarse como un fractal, en virtud de su área infinita y su longitud infinita. Pero los fractales pueden ofrecernos mucha más información acerca de la naturaleza. Examinando la imagen de este helecho, producida completamente por la formula xn+1 = a xn + b yn + c, quizás podamos empezar a comprender que cada vez estamos más cerca de comprender cómo se crean las plantas, los organismos, e incluso las nubes. Todo esto gracias al genial Mandelbrot que logró demostrar que la matemática no es algo sin uso y que ésta forma parte de nuestras vidas más de lo que creemos.Gracias a su descubrimiento, lograremos comprender diversos fenómenos naturales por medio de la geometría fractal en un futuro muy cercano. La capacidad de lograr entender la naturaleza permitirá que se abran nuevas ramas del conocimiento.

Bibliografía
http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Cockpit/5889/
http://www.arrakis.es/~sysifus
http://www.fractovia.org/

Cronología
 

Weierstrass K. Weierstrass
(1815-1897)
Curva de Weierstrass Definió, por primera vez, una curva continua no diferenciable.
Cantor G. Cantor
(1845-1918)
Conjunto de Cantor Estableció una sucesión de segmentos conocida como "polvo de Cantor".
Lyapunov A. Lyapunov
(1857-1918)
Curva Lyapunov Abrió el camino para el estudio de sistemas dinámicos.
Peano G. Peano
(1858-1932)
Curva de Peano Diseñó una curva que, al desarrollarse, pasa por todos los puntos del plano.
Koch N. Koch
(1815-1897)
Curva de Koch Su aportación más famosa se conoce como "Copo de nieve".
Sierpinski W. Sierpinski
(1882-1969)
Triangulo Sierpinski Su "triángulo" es, probablemente, el fractal más conocido.
Julia G. Julia
(1893-1978)
Conjunto Julia Estudió por primera vez la iteración de funciones racionales.
Mandelbrot B. Mandelbrot
(1924- )
Fractal de Mandelbrot Un gran impulsor de la matemática fractal, ayudado por las computadoras

Fuentehttp://www.arrakis.es/~sysifus/intro.htm